階乗素数

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階乗素数（かいじょうそすう、factorial prime）とは、階乗との差が 1 である（n!+1またはn!-1の形をした）素数のことである。なお、素数階乗 p# とは別の概念であることに注意しなければならない。

階乗素数が少ないことと、2 以上 n 以下の数 k について n! ± k が kで割りきれることから自然数の中でしばしば合成数が連続して存在することが説明できる。例えば、素数6227020777 = 13! − 23 の次の素数は 6227020867 = 13! + 67 であり、これらのあいだに 89個の合成数が並んでいる。しかし、この方法は素数の間の長いギャップを見つけるのにいつでも最適な方法だというわけではない。たとえば素数360653 と 360749 の間には95個の合成数が並んでいる。

目次 1 n!+1型の階乗素数 2 n!-1型の階乗素数 3 最大の階乗素数 4 関連項目 5 参考

[編集] n!+1型の階乗素数

100>nのとき、n=0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77 のときに、素数となる。

• 例：2(0!+1, 1!+1), 3(2!+1), 7(3!+1), 39916801(11!+1), 10888869450418352160768000001(27!+1)･･････

[編集] n!-1型の階乗素数

100>nのとき、n=3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94 のときに、素数となる。

• 例：5(3!-1), 23(4!-1), 719(6!-1), 5039(7!-1), 479001599(12!-1), 87178291199(14!-1)･･････

[編集] 最大の階乗素数

2007年現在142891桁の 34790!-1 が知られているなかでは最も大きな階乗素数である。

[編集] 関連項目

• 素数
• 階乗
• 素数階乗

[編集] 参考

• Factorial Prime from MathWorld
• List of largest known factorial primes
• リチャード・ガイ著 "Unsolved Problems in Number Theory", 3rd ed.
  • 一松信訳『数論における未解決問題集』 ISBN 4-431-70584-8 （初版）