対称群

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（置換行列から転送）

数学における対称群（たいしょうぐん、symmetric group）とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものの並べ替え」を置換（ちかん、permutation）といい、対称群のことを置換群（ちかんぐん、permutation group）と呼ぶこともある。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてをしらべる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。

ここでいう「入れ替え・並べ替え」は、入れ替えの前後で状態の変わらない対象を含んでもよいが、新しい並びは勝手な順列にはなれず、もとの並びに対して対象の重複も省略もおきてはならない（増えたり減ったりしない）。もとの並びにもともと対象の重複がある場合には、置換としてはそれらを（番号をつけるなどして）区別して扱うが、区別を無くすといくつかの状態が区別がつかずに“潰れて”しまうから、一般に対称群はその作用を受ける空間の対称性を記述するものと考えられる。

[編集] 定義

集合 I_n = {1, 2, ..., n} に対し、I_n から I_n への全単射全体の集合を S_n とおくと、写像の合成を積と定義することで、S_n は群になることがわかる。これはn 次の対称群と呼ばれ、S_n の元は n 次の置換とよばれる。

X を有限集合とするとき、I_n の場合と同様にして X から X への全単射全体の集合を Sym(X) とおくと、写像の合成を積として Sym(X) は群になる。このとき、Sym(X) は X の対称群または置換群とよばれる。有限集合の間の単射 X → Y に対して対称群の間の単射 Sym(X) → Sym(Y) が自然に定まる。特に、X に含まれる元の個数（X の濃度）が n のとき、X と集合 I_n とのあいだに全単射が存在するので両者を同一視することにより、Sym(X) は本質的に S_n と同一視できる（群として同型になる）。この同一視は全単射の取り方に依存するが、各全単射は I_n による X の元の番号付けとして点列 (x₁, x₂, ..., x_n) によって表されるが、それによって n 次置換 σ を点列 (x₁, x₂, ..., x_n) を入れ替える写像として具体的に理解することができる。この写像に対応するグラフは、組 (x_k, σ(x_k)) を k = 1, 2, ..., n に対して集めた有限集合であり、これはしばしば

<math>\begin{pmatrix}x_k\\ \sigma(x_k)\end{pmatrix},\quad

\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ 
\sigma(x_1) & \sigma(x_2) & \cdots & \sigma(x_n)\end{pmatrix}

</math> あるいは

<math>

\begin{pmatrix}x_k\\ x_{\sigma(k)}\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ 
x_{\sigma(1)} & x_{\sigma(2)} & \cdots & x_{\sigma(n)}\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}k\\ \sigma(k)\end{pmatrix}

</math> のように記される<ref>これはグラフであって、表示が似ているからと言ってベクトルや行列ではない。また、実際には前者（点の入れ替え）と後者（番号の入れ替え）は双対の関係にあり、ちょうど &sigma⁻¹(x_k) と x_σ(k) が、あるいは σ の右作用と左作用との入れ替えが対応する。</ref>。後者の記法は番号の入れ替えとしての σ の表示を与えており、この二つの記法の対応が集合X と集合 I_n との同一視の仕方（全単射の選び方）に応じた Sym(X) と S_n = Sym(I_n) との間に定まる群の同型対応を具体的に与えている。

無限集合についての対称群にあたるものとして二つの異なった概念が挙げられる。ひとつめの概念は有限集合 X に対する Sym(X) の構成をそのまま拡張し、有限とは限らない集合 Y に対しても Y から Y への全単射全体のなす群を考えることによって得られる。もう一つのより繊細な概念は、有限とは限らない集合 Y に対して、その有限部分集合全体のなす族 F を考え、有限対称群たち Sym(X) (X ∈ F) の直極限

<math>\varinjlim_{X \in \mathbf{F}} \mathrm{Sym}(X)</math>

として得られる群である。この二つの定式化は有限集合に対しては自然に同型な群を与えている。自然数の集合 N に対して二つ目の方法を適用して得られる群は S_∞ と書かれ、無限対称群と呼ばれる。これは S_n たちすべての合併と見なすことができる。

[編集] 諸概念

[編集] 互換

置換のうち、特に 2 つの元のみを入れ替えて他の元は変えないものを互換という。任意の置換は互換の積として表される。そのような表し方は一通りとはかぎらないが、表示にあらわれる互換の数が偶数であるか奇数であるか（偶奇性、パリティ）は表し方に依らずに決まる。偶数個の互換の積として表される置換のことを偶置換 (even permutation) といい、奇数個の互換の積として表される置換のことを奇置換 (odd permutation) という。n 次対称群の元のうち特に偶置換のみを集めると、その全体は n 次対称群の正規部分群となる。この群のことを n 次交代群 といい、A_n と表す。n が5以上のとき、 n 次交代群はより小さな群の合成としては表せなくなっており、このことから 5 次以上の方程式に代数的な解の公式が存在しないことが説明される（ガロア理論）。

[編集] 置換行列

n 次の対称群をベクトル空間の基底の変換として作用させることで置換を行列表示することができる。具体的に n 次元のベクトル空間 V とその基底 {e₁, e₂, ..., e_n} をひとつ固定して、置換 σ の V への作用を

σ(e_i) = e_σ(i)

(1 ≤ i ≤ n) によって定める。このとき σ の表現行列を P_σ とすると

σ(e₁, e₂, ..., e_n) = (e_σ(1), e_σ(2), ..., e_σ(n)) = (e₁, e₂, ..., e_n)P_σ

から、クロネッカーのデルタ δ を用いて P_σ = (δ_iσ(j)) となる。この行列 P_σ を、置換 σ に対応する置換行列（ちかんぎょうれつ、permutation matrix）という。偶置換に対応する置換行列の定める線型変換は空間の向きを保ち、一方で奇置換に対応する線型変換は空間の向きを反転させている。

[編集] 符号

n次の置換 σ について、σ の符号 (signature) と呼ばれる ±1 の数 sgn(σ) を定めることができる。sgn(σ) の定義にはいくつかの方法がある。

sgn(σ) = (−1)^d(σ)、ただし d(σ) は 1≤i<j≤n かつ σ(i)>σ(j) となっている(i,j)の組の数で、σ の転倒数と呼ばれる。
σ が偶置換のとき sgn(σ) = 1, σ が奇置換のとき sgn(σ) = −1。つまり σ が k 個の互換の積で表せるとき sgn(σ) = (−1)^k。
σ が表す置換行列を X_σ とするとき、X_σ の行列式によって sgn(σ) = det(X_σ)。
n 変数の差積 Δ = ∏_1≤i<j≤n (X_i − X_j) に対して、∏_{1≤i< j≤n} (X_σ(i) − X_σ(j)) = sgn(σ)Δ。

sgn は S_n から位数 2 の群 {±1} への準同型を定めており、二つ目の定式化からも明らかなように交代群はこの符号写像の核として特徴づけられる。

[編集] 共役類

群に関する基本的な問題としてその共役類の分類が挙げられるが、対称群 S_n における共役類は S_n の n への自然な作用に関する軌道の形によって分類される。実際、σ と τ が S_n の元ならば σ と τστ⁻¹ は同じ軌道の形を持っており、逆に σ と υ が同じ軌道の形を持つならばある τ ∈ S_n について υ = τστ⁻¹ となっている。たとえば、n = 3 で

σ: 1 → 2, 2 → 1, 3 → 3,

τ: 1 → 2, 2 → 3, 3 → 1

のとき、σ の軌道は {1, 2} と {3} であり、一方 τστ⁻¹ の軌道は {1} と {2, 3} で、どちらも一つの元からなる軌道を一つと二つの元からなる軌道を一つ持っている。

このように、軌道の形は各自然数 k に対して k 個の元を持つような軌道の数 m_k がいくつかを指定することで決定される。このとき、集合 n への作用を考えているので数列 (m_k)_k は ∑_k∈N km_k = n を満たさなければならない。このような数列は位数 n のヤング図形と一対一に対応しており、したがって S_n の共役類は位数 n のヤング図形たちによって記述されることになる。

[編集] 数学教育における置換

初等・中等教育における置換の応用問題として，カードのシャッフル，あみだくじ，平面図形の置換，15ゲームなどがあげられる。

[編集] カードのシャッフル

1982年に麻布中に出たものが初出であろう。その後しばらくは中学入試には出題されなかったが、2002年に東京大学で出題されたのち2004年から2006年にかけて出題され始めた。

[編集] あみだくじ

あみだくじの1つの横棒が1つの互換を表すので，あみだくじによって一般の置換が表現できることになる。中学入試では十余年前から出題されている。算数オリンピクの影響という説も有力である，数字や文字のならべ換えを置換のモデルとして出題するのは，1970年代のカリキュラムへの現代数学的なトピックの導入時にみられた。

[編集] 15ゲームもどき

15ゲームとは，4×4=16のスペースの中に1から15までの数が1つずつ書かれた正方形のこまをスライドさせるソリティアスライディングゲームを言う。中学入試では，その縮小版と見られる，2×2=4のスペースの中に1から3までの数が1つずつ書かれた正方形のこまをスライドさせる，あるいは3×3=9のスペースの中に1から8までの数が1つずつ書かれた正方形のこまをスライドさせるという形式で,出題される。

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