線積分
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数学における線積分（せんせきぶん、path integral, line integral）は、曲線に沿った積分の総称。ベクトル解析や複素解析において重要な役割を演じる。閉曲線に沿う線積分を特に閉路積分あるいは周回積分（しゅうかいせきぶん、contour integral）と呼ぶ。
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[編集] 定義
[編集] 弧長
n 次元実多様体 M の領域 Ω を考える。局所的には Ω ⊂ Rn と考えることができる。Ω 内の滑らかな曲線 γ: I → Ω が r = γ(t) = (γ1(t), γ2(t), ..., γn(t)) で与えられているとき、s = s(t) が γ の弧長（弧長パラメータ）であるとは、区間 I = [a, b] 上の各点 t0 に対して
- <math>s(t_0) = \int_{a}^{a + t_0} \left|\frac{d\gamma}{dt}\right|dt
= \int_{a}^{a + t_0} \sqrt{
\left(\frac{d\gamma_1}{dt}\right)^{\!\!2} +
\left(\frac{d\gamma_2}{dt}\right)^{\!\!2} + \cdots +
\left(\frac{d\gamma_n}{dt}\right)^{\!\!2}
}\,dt
</math> あるいは同じことだが
- <math>\frac{ds}{dt} = \left|\frac{d\gamma}{dt}\right|</math>
が成り立つことをいう。これはパラメータ t の取り方に依らず定まり、象徴的に
- <math>ds = |d\mathbf{r}| = |d\gamma|</math>
と記される。この ds を γ の線素（せんそ、line element）と呼ぶ。曲線が区分的に滑らかなら、微分可能な区間の和にわけて同じく弧長を定義することができる。
[編集] スカラー場
実多様体 M の領域 Ω 上のスカラー場 f: Ω → R と、Ω 内の曲線 γ: I = [0, 1] → Ω の像 [γ] に対して、[γ] の分割 Δ に関するリーマン和
- <math>\sum_{s_i \in \Delta}f(\gamma(s_i))ds_i</math>
の極限が存在するとき、それを f の曲線 γ に沿う線積分と呼び、γ をその積分路と呼ぶ。これは積分路 γ が滑らかなときには
- <math>\int_{0}^{1} f(\gamma(t))\left|\frac{d\gamma}{dt}\right|dt</math>
によって求められる値と一致する。そしてこれは一般にパラメータ t の取り方には依らないので
- <math>\int_{\gamma}fds = \int f(\gamma(s))ds = \int_{\gamma} f(\mathbf{r})|d\mathbf{r}|</math>
のように記して、γ の弧長あるいは線素に関するスカラー場 f の積分という。一方これは、端点での値だけでは定まらず、そのために積分記号には積分路 γ を付すのである。
[編集] ベクトル場
滑らかな曲線 γ の接方向へベクトル場を積分することにより、ベクトル場の線積分は定義される。
- <math>\int_{\gamma} \mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}
= \int_{\gamma} \mathbf{A}\cdot \mathbf{t}\,ds
</math>
[編集] 複素関数
正則関数の滑らかな曲線に沿った線積分は
- <math>\int_{\gamma} f(z)dz = \int f(\gamma(t))\frac{d\gamma}{dt}\,dt</math>
で与えられる。z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y) とおくことにより、ガウス平面 C を実二次の空間 R2 と見なせば、微分形式 f(z)dz は
- <math>f(z)dz = (u(x,y)dx - v(x,y)dy) + i(v(x,y)dx + u(x,y)dy)</math>
となる。これと
- <math>f(z)d\bar{z} = (u(x,y)dx + v(x,y)dy) + i(v(x,y)dx - u(x,y)dy)</math>
をあわせて考えれば、ベクトル場としての線積分と面積分を考えることができる。
弧長に関する線積分も同様に
- <math>\int_{\gamma} f(z)|dz| =
\int f(\gamma(t))\left|\frac{d\gamma}{dt}\right| dt
</math> と定義できる。
ガウス・グリーンの定理を適用すれば複素関数の面積分は、その領域の境界上の線積分に帰着されるため、複素関数の積分では線積分が本質的である。特に正則関数 f の単純閉曲線 γ 上の閉路積分に関するコーシーの定理
- <math>\oint_\gamma f(z)dz = 0</math>
は、γ を境界 ∂D とする領域 D でのグリーンの定理にコーシー・リーマンの関係式を代入することに対応する。
[編集] 関連項目
