線型写像

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線型写像（せんけいしゃぞう、linear map）は、ベクトル空間の代数的構造を保つような写像、すなわち体上の加群としての準同型写像のことである。線型は線形とも書く。とる値によっては線型変換（せんけいへんかん、linear transformation、一次変換）とか一次形式（いちじけいしき、linear form）とも呼ばれる。また、関数解析学の分野では線型作用素（せんけいさようそ、linear operator）とも呼ばれることが多い。

目次 1 例 2 定義 3 行列表現 4 諸定義 4.1 像・核 4.2 準同型・同型 4.3 極分解 5 関連項目

[編集] 例

複素数全体の成す体 C は C 上一次元のベクトル空間であるとともに、R 上二次元のベクトル空間でもある。各複素数に対し、その複素数の共役をとるという操作は C 上の R-線型変換であるが、しかし C-線型ではない。

また無限次元の空間についても重要な例がある。例えば積分作用素は、ある区間のすべての実数値可積分関数の成す集合から R への線型写像をもたらし、また微分作用素は、すべての微分可能な関数全体の成す集合からすべての関数の集合への線型写像である。

[編集] 定義

V と W とを同じ体 K の上のベクトル空間とする。V から W への写像 f が、任意の x, y ∈ V と K の部分体 F の任意の元 c に対し、

1. f(x + y) = f(x) + f(y)
2. f(cx) = cf (x)

を満たすとき、 f を F 上の線型写像 という。簡単に F-線型写像ということもある。V から W への F-線型写像の全体の作る集合を Hom_F(V, W) などと表す。考えているベクトル空間および線型写像がどの体上のものであるかが明らかなときには、省略して単に f は V から W への線型写像であるなどのようにいう。

[編集] 行列表現

V と W が有限次元のベクトル空間で、それぞれの空間の基底が選ばれているならば、各ベクトルをそれらの基底に関する成分表示と同一視されるから、V から W への任意の線型写像は行列として表すことができる; このことは、具体的な計算を可能にするという点で便利である。

逆に A を 成分を体 K にもつ m 行 n 列の行列とするとき、 f(x) = Ax (x ∈ Kⁿ) は Kⁿ から K^m への K-線型写像を定める。

特に、K 上のベクトル空間 V, W の K 上次元がそれぞれ n, m であるならば

<math>{\rm Hom}_K(V,W) \cong {\rm Mat}(m,n;K)</math>

というベクトル空間の同型が成り立つ。

[編集] 諸定義

[編集] 像・核

線型写像 f: V → W に対して

<math>{\rm Im}(f)=f(V):=\{f(v) \in W \mid v \in V\} \subset W,</math>

<math>{\rm Ker}(f) := \{v \in V \mid f(v)=0\} \subset V</math>

をそれぞれ、f の像 (image)、核 (kernel) という。

[編集] 準同型・同型

線型写像 f ∈ Hom_F(V, W) が全単射であるとき、 f は V から W への F-線型同型写像、もしくは F 上のベクトル空間のあいだの同型写像、あるいは F 上の同型、F-同型であるという。これも前述のものと同様に、考えている体が明らかなら単に、線形同型、同型などと略す。また、ベクトル空間 V, W の間に線型同型が存在するとき、V と W はベクトル空間として同型であるという。

F-線型写像 f が V から V 自身への写像であるとき、f を V における F 上の線型変換、V 上で定義された F-線型変換などという。あるいは、F上のベクトル空間としての自己準同型などともいう。V における F-線型変換全体の成す集合を End_F(V) などと表す。End_F(V) は F 上の多元環の構造を持つ。

さらに V 上で定義された線型変換 f が可逆であるとき、すなわち逆写像 f ^-1 が存在するとき、線型変換 f は正則であるとか f は正則線型変換である、あるいは f は V 上の自己同型であるなどという。V における正則 F-線型変換の全体の成す集合を GL_F(V), GL(V) などと表す。GL(V) は写像の合成を積として群を成す。

[編集] 極分解

ガウス平面、つまり複素数を実数体 R 上の平面 R² と同一視するとき、複素数を別の複素数に掛けることは平面上の線型変換として観測され、それは極形式と呼ばれる形式によって明示的に表示される。これの一般化として、ヒルベルト空間上の任意の有界線型変換 L は

L = AE, A はエルミート、E はユニタリ

の形に分解される。ただし、A は L の絶対値と呼ばれる A² = L^*L を満たすただ一つのエルミート作用素。これを極分解という。

[編集] 関連項目

• 線型代数学
• 行列