確率微分方程式

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確率微分方程式（かくりつびぶんほうていしき、英:stochastic differential equation）とは、一つ以上の項が確率過程である微分方程式であって、その結果、解自身も確率過程となるものである。

目次 1 定義 2 強解と弱解 3 幾何ブラウン運動 4 伊藤過程 5 参考文献 6 関連項目

[編集] 定義

典型的には、B_t （t≧0） を、 B₀ = 0 を満たす連続時間一次元ブラウン運動（ウィーナー過程）とするとき、積分方程式

<math> X_{t+s} - X_{t} = \int_t^{t+s} \mu(X_u,u) du + \int_t^{t+s} \sigma(X_u,u)\, dB_u</math>

を

<math> dX_t = \mu(X_t,t)\, dt + \sigma(X_t,t)\, dB_t</math>

の形に略記したものを、確率微分方程式という。 上記方程式は、連続時間の確率過程 X_t の振る舞いを、一般のルベーグ積分と伊藤積分の和で模している。

確率微分方程式の発見論的だがとても有益な解釈は、 微小時間間隔 δ において、確率過程 X_t の変化が、 期待値 μ(X_t,t)δ、分散 σ²(X_t,t)δ の正規分布に従って変化し、しかも過去の同確率過程の振る舞いと独立である、と見ることである。 ウィーナー過程の変化は互いに独立で正規分布に従うことから、こう考えることができる。

関数 μ(x,t) はドリフト係数（drift coefficient）、関数 σ(x,t) は拡散係数（diffusion coefficient）という。 確率微分方程式の解として得られる確率過程 X_t は拡散過程（diffusion process）と呼び、通常はマルコフ過程である。

[編集] 強解と弱解

確率微分方程式の理論的解釈は、同方程式の解とは何かによって解釈する。 確率微分方程式の解の主要な定義には、強解（strong solution）と弱解（weak solution）の二種類ある。 どちらも、確率微分方程式に対応する積分方程式の解となる確率過程 X_t の存在を要件とする。 両者の違いは、基礎となる確率空間 (Ω, F, P) にある。 弱解とは、確率積分方程式を満たす確率空間と確率過程をいい、 強解は、与えられた確率空間の上で定義され、確率積分方程式を満たす確率過程をいう。

[編集] 幾何ブラウン運動

以下の確率微分方程式、

<math>dX_t = \mu X_t\, dt + \sigma X_t\, dB_t</math>

は重要な例であり、この解を幾何ブラウン運動（geometric Brownian motion）という。 これは、数理ファイナンスにおいて、ブラック･ショールズ・オプション価格モデルで、株式価格の動きを模す方程式である。

[編集] 伊藤過程

係数関数 μ と σ が、解確率過程 X_t の現在の値のみならず、同過程の過去の値、または他の確率過程の現在と過去の値にも依存する、さらに一般的な確率微分方程式が考えられる。 この場合、解確率過程 X_t はマルコフ過程ではなく、その解は拡散過程ではなく伊藤過程（Itō process）と呼ばれる。 係数関数が現在と過去の X_t の値のみに依存する場合、定義する確率微分方程式は、確率遅延微分方程式（stochastic delay differential equation）という。

[編集] 参考文献

• I.カラザス、S.E.シュレーブ、渡邉壽夫訳（2001）、ブラウン運動と確率積分、シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 4-431-70852-9
• ベァーント・エクセンダール、谷口説男訳（1999）、確率微分方程式 ─ 入門から応用まで、シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 4-431-708804-9

[編集] 関連項目

• 確率空間（確率の公理）
• 測度（確率測度）
• 確率変数
• 確率過程
• ウィーナー過程（ブラウン運動）
• 伊藤清、伊藤の公式（伊藤の補題、伊藤のレンマ）
• 数理ファイナンス、金融工学、ブラック-ショールズ方程式、デリバティブ