波動方程式
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波動方程式（はどうほうていしき、Wave equation）は、波（波動）を記述するための微分方程式（最も基本的な二階の双曲型偏微分方程式の一つ）である。まず座標と時間に関しての未知の関数 u を考える。
- <math> u = u(x_1, x_2, \ldots, x_n, t) </math>
ここで、x1, x2, ...,xn は、n 次元の座標、t は時間である。この u に関する以下の式；
- <math> {1 \over s^2} {\partial^2 u \over {\partial t^2} } = \triangle u </math>
が波動方程式である。s は、s > 0 の適当な係数であり、波動方程式で扱う波の伝播する速さに相当する。Δ はラプラシアンで、
- <math> \triangle = { \partial^2 \over {\partial x_1^2} } + { \partial^2 \over {\partial x_2^2} } + \cdots + { \partial^2 \over {\partial x_n^2} } </math>
である。上の波動方程式において、
- <math> \square = \triangle - {1 \over s^2} {\partial^2 \over {\partial t^2}} </math>
を、ダランベールの演算子（ダランベルシアン）と言い、これを使うと波動方程式は、
- <math> \square u = 0 </math>
と表現できる。この波動方程式を使って、波（波動）や電磁波を記述することができる。尚、関数 u を座標と時間に関して変数分離すると、ヘルムホルツ方程式、
- <math> \triangle u + \kappa^2 u = 0 </math>
が得られる。κ2 は、κ2 > 0 の適当な係数である。この方程式を、還元された波動方程式と言うことがある。
[編集] 量子力学での波動方程式
波動力学ではシュレーディンガー方程式や、ディラック方程式などを波動方程式と言う。
時間を含まないシュレーディンガー方程式は、
- <math> \triangle \Psi + {2m \over {\hbar^2} } (E - V) \Psi = 0 </math>
であり、これは先の還元された波動方程式と同じ形をしている。ここで、Ψ（プサイ）は波動関数、m はある質点（電子などと考えてもよい）の質量、E は固有値、V はポテンシャルである。また、<math> \hbar = h / 2 \pi </math> であり、h はプランク定数である。
また、光子（→電磁波）を考えると光子のエネルギー E は、E = cp であり（c は光速、p は運動量）、E2 = c2p2として、E と p を量子化すると（q を座標とする）、
- <math> E^2 = c^2 p^2 \to \left( i \hbar {\partial \over {\partial t}} \right)^2 = c^2 \left( - i \hbar {\partial \over {\partial q }} \right)^2 </math>
となり、両辺に光子に関しての波動関数 Φ（ファイ）を置くと、
- <math> - \hbar^2 { \partial^2 \Phi \over {\partial t^2} } = - c^2 \hbar^2 {\partial^2 \Phi \over {\partial q^2 } } </math>
となる。余計な係数を落とすと、
- <math> {1 \over {c^2}} {\partial^2 \Phi \over {\partial t^2} } = {\partial^2 \Phi \over {\partial q^2 } } </math>
を得る。これは波動方程式となっている。一方、任意の質点（普通は電子）を出発点とする場合、E = p2/2m を量子化することとなり、これからは時間を含むシュレーディンガー方程式が出てくる。この式では時間の微分が二階ではなく、一階微分になっている。
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