対応 (数学)

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数学における対応（たいおう、Correspondence）とは、関数や写像の一般化された概念で、ある集合の各元に対して別の集合の部分集合を結びつける規則を言う。

最も自然に現れる対応は、写像 f に対して、f の値域の各元にその原像（逆像）を対応させる対応 f ^-1 である。

目次 1 定義 2 諸概念 2.1 対応の相等 2.2 逆対応 2.3 写像 3 関連項目

[編集] 定義

集合 A と集合 B が与えられたとき、A の各元 a に対して、a の像と呼ばれ f(a) と記される B の部分集合（空集合であってもよい）がそれぞれ指定されているとき

f: A → B

とか

<math>\begin{matrix}{}_f\\[-7pt] A\to B \end{matrix}</math>

などと表して、f は A から B への対応であるという。このとき、

<math>G_f := \{(a,b) \mid a\in A,\,b\in f(a)\}</math>

は f のグラフと呼ばれる直積集合 A × B の部分集合であるが、逆にA × B の部分集合 G を任意に与えるとき、それをグラフとする対応 f_G が存在することが知られている。ゆえに集合の言葉のみで述べると、対応の定義は以下のようになる：

f が集合 A から B への対応であるとは、直積集合 A × B の部分集合 G が与えられたとき、三つ組 f = (A, B; G) のことをいう。

このとき、A, B, G_f はそれぞれ f の始域、終域、グラフと呼ばれる。また、グラフのそれぞれの成分への射影

<math> D(f) = {\rm pr}_A(G_f) =

 \{a\in A \mid \exists b\in B\mbox{ such that } (a,b)\in G_f\}

</math> のことを定義域といい、

<math> V(f) = {\rm pr}_B(G_f) =

 \{b\in B \mid \exists a\in A\mbox{ such that } (a,b)\in G_f\}

</math> を値域と呼ぶ。

[編集] 諸概念

[編集] 対応の相等

二つの対応 f: A → B と g: C → D が等しいとは、始域、終域を共有し、始域の各元の像が常に等しいことをいう。すなわち、集合として A = C, B = D であって、なおかつどんな a ∈ A (= C) に対しても、f(a) = g(a) を満たすとき、対応 f と g は等しいといい、f = g と記す。

なお、終域を重視しない立場もあり、その場合は A = C かつ a ∈ A ならば f(a) = g(a) を満たすことが f = g である必要十分条件である（このとき、値域は一致する）。ただし、この立場では後に述べる逆対応をはっきりと定義することができないなどの制約も持つ。

[編集] 逆対応

対応 f: A → B が与えられているとき、B の各元 b に対し、b ∈ f(a) となるような元 a の全体が成す集合

<math>f^{-1}(b) := \{a \in A \mid b \in f(a)\} \subset A</math>

を考えると、f ^-1(b) を b ∈ B の像とするような B から A への対応 f ^-1 が考えられる。この対応 f ^-1 を対応 f の逆対応という。逆対応 f ^-1 のグラフは

<math>G_{f^{-1}} = \{(b,a) \in B \times A \mid (a,b) \in G_f\}</math>

によって与えられる。

[編集] 写像

対応 f = (A, B, G_f) は、

定義域の各元 a ∈ A に対して (a, b) ∈ G_f となるような b ∈ B が一つしかない（すなわち、A のどの元 a についても f(a) がただ一つの元からなる）

という条件（一意対応）をみたすとき、 写像という。対応 f が写像であるとき、f(a) = {b} となることを f(a) = b と略記して、この元 b = f(a) を a の像と呼ぶ。

[編集] 関連項目

• 集合
• 写像
• グラフ