同値
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同値（どうち）または等価（とうか）とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。
英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iffともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。PとQが同値であることを「PはQの（QはPの）必要十分条件である」という。
演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。
目次 |
[編集] 性質
同値の基本的な性質は以下のとおり。<math>\Rightarrow</math>は論理包含（ならば）、<math>\land</math>は論理積（かつ）。
- 反射律: <math>p \Leftrightarrow p</math>
- 対称律: <math>(p \Leftrightarrow q) \Rightarrow (q \Leftrightarrow p)</math>
- 推移律: <math>\{(p \Leftrightarrow q) \land (q \Leftrightarrow r)\} \Rightarrow (p \Leftrightarrow r)</math>
他にも次のような性質がある。<math>\lnot</math>は否定、<math>\veebar</math>は排他的論理和。
- 反対称律: <math>\{(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)\} \Rightarrow (p \Leftrightarrow q)</math>
- <math>(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow \lnot (p \veebar q)</math>
[編集] 真理値表
| 命題 P | 命題 Q | P ⇔ Q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 偽 | 偽 |
| 偽 | 真 | 偽 |
| 偽 | 偽 | 真 |
[編集] 概要
命題 P と命題 Q に対して、P⇒Q のとき、
- P は Q であるための十分条件
- Q は P であるための必要条件
であるという。P⇒Q の逆 Q⇒P でもあるとき、Q は P であるための（または P は Q であるための）必要十分条件、または命題 P と Q は同値であるという。
ここで言っている「十分」や「必要」の意味だが、身近な使用例としては、
- P 花子さんの数学の偏差値は65である。
- Q 数学の偏差値60以上でA大学に入れる。
という2つの命題があるとき、花子さんの偏差値は65なのでA大学に入れることになるので P⇒Q である。このとき、
- 花子さんの偏差値（P）は、A大学に入る条件（Q）を十分満たしている。
- A大学に入る（Q）には、花子さんが入れるため（P）に最低限必要なランクである。
となる。
なお数学で、ある集合の2つの元が同値関係にあるとき、それらは互いに「同値である」と言うことがあるが、それとは区別すべきものである。ただし、二つの命題が同値であるという "関係" は同値律を満たすので "命題の全体" における "同値関係" になっている。
[編集] 例
以下の命題 p, q, r を考える。
- 命題 p: x は 3 である。
- 命題 q: x - 3 = 0 が成立する。
- 命題 r: x は x2 -5x + 6 の根である。
これらについて、次のことが確かめられる。
- 命題 p が真であるとき、命題 q, r ともに真である。
- 命題 p が偽であるとき、命題 q は偽である。しかし x = 2 とすれば、命題 p が偽であるにも拘らず、命題 r は真となる。
- 命題 q が真であるとき、命題 p, r はともに真である。
- 命題 q が偽であるとき、命題 p は偽である。しかし x = 2 とすれば、命題 q が偽であるにも拘らず、命題 r は真となる。
- 命題 r が真であるとき、x = 2 または x = 3（x - 2 = 0 または x - 3 = 0）であるが、x = 2 のときには命題 p, q は偽である。
- 命題 r が偽であるとき、命題 p,q はともに偽である。
よって次のことが帰結される。
- 命題 p と命題 q は同値である。
- 命題 p と命題 r は同値でない。
- 命題 q と命題 r は同値でない。
[編集] 関連項目
[編集] 外部リンク
- 「Necessary and Sufficient Conditions」 - スタンフォード哲学百科事典にある「必要条件と十分条件」についての記事（英語）
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