ペル数

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ペル数（ぺるすう、Pell number）は自然数で、n番目のペル数を P_n とおいて以下の式で定義される数列にある項のことである。

<math>P_1 = 1 , P_2 = 2 \,</math>

<math>P_n = 2P_{n-1} + P_{n-2} \quad (n \ge 3)</math>

ペル数を1から小さい順に列記すると

1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, …

ペル数は前項を2倍した数と前々項との和になっている。なお0番目のペル数を0と定義する場合もある。

n番目のペル数は

<math>P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}</math>

という式で表わされる。<math>\scriptstyle \left\vert 1-\sqrt 2 \right\vert <1</math> であるため、nが大きくなるにつれて隣接するペル数の比 P_n+1/P_n は白銀比 <math>\scriptstyle 1+\sqrt 2</math> に限りなく近づく。

行列では以下のように表現される。

<math>\begin{pmatrix} P_{n+1} & P_n \\ P_n & P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n</math>

ここから以下の恒等式が導かれる。

<math>P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^n</math>

この式はペル数をフィボナッチ数に入れ替えてもあてはまる。

<math>\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1</math>　の自然数解 x,y を小さい順に並べるとyはペル数となる。またその x/y の値は

<math>\frac{P_{n-1}+P_n}{P_n} = \frac11, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots</math>　とだんだん√2の値に近づく。

ペル数のうち累乗数は1と169のみである。

ペル数を使った以下の式で平方三角数を計算できる。

<math>\bigl((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{(P_{k-1}+P_k)^2\cdot\left((P_{k-1}+P_k)^2-(-1)^k\right)}{2}.</math>

左辺は平方数、右辺は三角数を表わしている。

また以下の式で a²+b²=c² を満たすピタゴラス数を表わすこともできる。

<math>(a,b,c)=(2P_{n}P_{n+1} , P_{n+1}^2 - P_{n}^2 , P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1})</math>

[編集] 関連項目

• フィボナッチ数
• 白銀比
• 平方三角数
• ピタゴラス数
• ペル方程式