コーシーの収束判定法
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コーシーの収束判定法(―のしゅうそくはんていほう、root test) とは、無限級数の収束性を判定する方法である。とりわけ、冪級数に関連することに有用である。「コーシーの収束判定法」という名前は、これを最初に発見したオーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する。
- <math>C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}</math>
（"lim sup" は上極限を意味する）とするとき、C < 1 であれば級数は収束し、C > 1 であれば発散する。C = 1 ならば、この判定法ではどちらとも言えない。もし、級数の項が c を中心とする冪級数
- <math>\sum_{n=0}^\infty a_n (z-c)^n</math>
の係数であれば、この冪級数の収束半径は 1/C である。これは、0 の逆数として考えた ∞ も含む。
[編集] 証明
証明は、比較判定法を利用したものである。もし、全ての <math>n\geq N</math> に対し <math>\sqrt[n]{a_n}<k<1</math> ならば、<math>a_n<k^n<1</math> が成立する。比較判定法より、幾何級数 <math>\sum_{i=N}^\infty k^i</math> が収束すれば、<math>\sum_{i=N}^\infty a_n</math> もまた収束する。
もし、<math>\sqrt[n]{a_n}>1</math> ならば、<math>\sum_{i=N}^\infty 1</math> と比較して級数は発散する。an が非正である場合の絶対収束性は、<math>\sqrt[n]{|a_n|}</math> を用いれば同様にして証明できる。
[編集] 関連記事
[編集] 参考文献
- Knopp, Konrad (1956). “§ 3.2”,
Infinite Sequences and Series</i>. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0486601536.
- Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). “§ 2.35”,
A Course in Modern Analysis</i>, fourth edition, Cambridge University Press. ISBN 0521588073.
この記事は、GFDLライセンスに基づくPlanetMathの記事、Proof of Cauchy's root test を資料として取り入れています。
