ガンマ関数
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（グラフ中「re」はxに相当、「im」はyに相当）
数学においてガンマ関数（ガンマかんすう）とは、実部が正の複素数について次の積分で定義される関数をいう。
- <math>\Gamma(z)=\int^{\infin}_{0}t^{z-1}e^{-t}dt\qquad(\real{z}>0)</math>
この積分は第二種オイラー積分と呼ばれるものである。一般の複素数については次の無限乗積で定義される。
- <math>\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}</math>
ガンマ関数は、階乗の複素数への拡張としてオイラーによって考案されたものであり、自然数<math>n</math>について<math>\Gamma(n)=(n-1)!</math>が成立する。これに加えて、任意の正の実数<math>x>0</math>について<math>\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)</math>であり、対数凸な有理型関数であるという条件を与えればガンマ関数が一意に特定される。
目次 |
[編集] 概要
ガンマ関数は、元は階乗の一般化としてオイラーが得たもので、Γという記号は、アドリアン＝マリ・ルジャンドルが用いたものである。 以前は<math>\Pi(x)</math>などと表記していた（ただし<math>\Pi(x)=\Gamma(x+1)</math>）。定義の積分表示を一回部分積分することにより、
- Γ(z+1) = zΓ(z)
という漸化式を得る。明らかに Γ(1) = 1 であるから、自然数 n に対して
- Γ(n+1) = n!
が成り立つ。
解析接続により Γ(z) を z = 0, -1, -2,... を除く複素数全体で定義された有理型関数に拡張することができる。このことから、ガンマ関数を、階乗を複素関数に拡張したものと捉えることができる。ガンマ関数は、ふつうこの拡張されたものを指している。
ガンマ関数は零点を持たない。また、非整数でのガンマ関数の値のうちで最も有名なのは、おそらく以下のものであろう。
- <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}</math>
ガンマ関数は、点 z = -n (n∈N) において一位の極を持つ。その留数は、
- <math>{\rm Res}(\Gamma , -n) = \frac{(-1)^n}{n!} </math>
となる。
[編集] 定義の整合性
定義の積分表示と乗積表示が一致することを示す。
- <math>G_n(z)=\int_{0}^{n}{t^{z-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}}dt</math>
とすれば<math>\lim_{n\to\infty}{(1-t/n)^n}=e^{-t}</math>であるから<math>\lim_{n\to\infty}{G_n(z)}=\int^{\infin}_{0}t^{z-1}e^{-t}dt</math>である。<math>t=nu</math>の置換により
- <math>G_n(z)=n^{z}\int_{0}^{1}{u^{z-1}(1-u)^{n}}du</math>
<math>n^{x}</math>を除く部分を<math>g_n(z)</math>として
- <math>g_0(z)=\int_{0}^{1}{u^{z-1}}du=\left[\frac{u^z}{z}\right]_{u=0}^{1}=\frac{1}{z}</math>
- <math>g_n(z)=\int_{0}^{1}{\left(\frac{u^{z}}{z}\right)'(1-u)^{n}}du=\frac{n}{z}\int_{u=0}^{1}{u^{z}(1-u)^{n-1}}du=\frac{n}{z}g_{n-1}(z+1)</math>
これにより
- <math>G_n(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}</math>
を得る。故に
- <math>\int^{\infin}_{0}t^{z-1}e^{-t}dt=\lim_{n\to\infty}G_n(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}</math>
である。
[編集] ワイエルシュトラスの乗積表示
オイラーの乗積表示からオイラーの定数<math>\gamma=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}{1/k}-\log{n}</math>を括り出すとワイエルシュトラスの形式が得られる。ワイエルシュトラスはガンマ関数が負の整数に極を持つことを嫌って逆数を用いた。ガンマ関数の逆数は複素平面全体で正則である。
- <math>\frac{1}{\Gamma(z)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}{n^zn!}=\lim_{n\to\infty}z\left(n^{-1}\prod_{k=1}^{n}{e^{1/k}}\right)^{z}\left(\prod_{k=1}^{n}{\frac{z+k}{k}}e^{z/k}\right)=ze^{{\gamma}z}\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-z/n}</math>
[編集] スターリングの公式
ガンマ関数はスターリングの公式で近似される。この漸近近似は複素平面全体(負の実数を除く)で成立するが、<math>|\arg{z}|={\pi}</math>に近づくにつれ近似の誤差が大きくなる(極限の収束が遅くなる)ため、応用上は反射公式などを用いて<math>|\arg{z}|\le{\pi}/2</math>程度に制限することが多い。
- <math>\Gamma(z+1)\approx\sqrt{2{\pi}z}\left(\frac{z}{e}\right)^z\qquad(|\arg{z}|<{\pi},|z|\gg0)</math>
- <math>\lim_{z\to\infty}\frac{\Gamma(z+1)}{\sqrt{2{\pi}z}\left(\frac{z}{e}\right)^z}=1\qquad(|\arg{z}|<{\pi})</math>
[編集] 反射公式
次の恒等式をオイラーの反射公式(reflection formula)という。
- <math>\Gamma(z)\Gamma(1-z)=-z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{\pi}{\sin{{\pi}z}}</math>
この恒等式はオイラーの乗積表示から得られる。
- <math>\begin{align}
-z\Gamma(z)\Gamma(-z) &=-z\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}\right)\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^{-z}n!}{\prod_{k=0}^{n}{(-z+k)}}\right)\\ &=\frac{1}{z}\prod_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-z^2}\\ &=\frac{\pi}{{\pi}z\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{k^2-z^2}{k^2}}\\ \end{align}</math> この分母は正弦関数の無限乗積展開であるから、
- <math>\Gamma(z)\Gamma(1-z)=-z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{\pi}{\sin{{\pi}z}}</math>
である。反射公式に<math>z=1/2</math>を代入すれば
- <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{\sin{\frac{\pi}{2}}}=\pi</math>
となり
- <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
を得る。
[編集] 乗法公式
次の恒等式をガウスの乗法公式(multiplication formula)という。
- <math>\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-1/2}}{(2\pi)^{(n-1)/2}}\prod_{k=0}^{n-1}{\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}</math>
この証明を示す。両辺の比を<math>f(z)</math>とすると
- <math>\begin{align}f(z)=
&\frac{n^{nz-1/2}\prod_{k=0}^{n-1}{\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}}{(2\pi)^{(n-1)/2}\Gamma(nz)}\\ \end{align}</math>
- <math>\begin{align}f(z+1)
&=\frac{n^{nz-1/2}n^z\left[\prod_{k=0}^{n-1}\left(z+\frac{k}{n}\right)\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}\right]}{(2\pi)^{(n-1)/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}(nz+k)\right]\Gamma(nz)}\\ &=\frac{n^{nz-1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}\left(nz+k\right)\right]\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}{(2\pi)^{(n-1)/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}(nz+k)\right]\Gamma(nz)}\\ &=f(z)\\ \end{align}</math> 故に、任意に大きな自然数<math>m</math>について<math>f(z+m)=f(z)</math>が成立する。スターリングの公式により
- <math>\begin{align}\lim_{\real{z}\to+\infty}f(z)
&=\lim_{\real{z}\to+\infty}\frac{n^{nz-1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}{\sqrt{\frac{2{\pi}}{z+k/n}}\left(\frac{z+k/n}{e}\right)^{z+k/n}}\right]}{(2\pi)^{(n-1)/2}\sqrt{\frac{2{\pi}}{nz}}\left(\frac{nz}{e}\right)^{nz}}\\ &=\lim_{\real{z}\to+\infty}z^{1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}e^{-k/n}\right]\\ &=\lim_{\real{z}\to+\infty}z^{1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}e^{k/n}e^{-k/n}\right]\\ &=1 \end{align}</math> 途中で
- <math>\lim_{\real{z}\to+\infty}(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}=\lim_{\real{z}\to+\infty}(1+k/nz)^{z}=e^{n/k}</math>
を適用した。
- <math>f(z)=\lim_{n\to\infty}f(z+n)=1</math>
であり、故に
- <math>\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-1/2}}{(2\pi)^{(n-1)/2}}\prod_{k=0}^{n-1}{\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}</math>
が成立する。
[編集] 階乗の自然な拡張
- <math>\Gamma(z)=\int_{t=0}^{\infty}{t^{z-1}(-e^{-t})'}dt=\left[-t^{z-1}e^{-x}\right]_{t=0}^{\infty}+(z-1)\int_{t=0}^{\infty}{t^{z-2}e^{-t}}dt=(z-1)\Gamma(z-1)</math>
- <math>\Gamma(1)=\int_{t=0}^{\infty}{e^{-t}}dt=\left[-e^{-t}\right]_{t=0}^{\infty}=1</math>
であるから、自然数nについて
- <math>\Gamma(n)=(n-1)!</math>
が成り立つ。従って、ガンマ関数は階乗の定義域を複素平面に拡張したものと考えられる。そのような関数は無数にあるが、正の実数xについて対数が凸である有理型の関数という条件を付ければ、それは一意に定まりガンマ関数に他ならない。従って、ガンマ関数は階乗の最も自然な拡張であると考えられる。このことの証明を以下に示す。
初めに、ガンマ関数が対数凸であることを確かめる。
- <math>\Gamma(x)=\frac{e^{-{\gamma}x}}{x}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+x}e^{x/n}</math>
- <math>\log\Gamma(x)=-{\gamma}x-\log{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\log{n}-\log{(n+x)}+\frac{x}{n}\right)</math>
- <math>\frac{d}{dx}\log\Gamma(x)=-{\gamma}-\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n+x}+\frac{1}{n}\right)</math>
- <math>\frac{d^2}{dx^2}\log\Gamma(x)=\frac{1}{x^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+x)^2}</math>
実数<math>x>0</math>について、無限和の各項が正であるから<math>\frac{d^2}{dx^2}\log\Gamma(x)</math>は正であり、ガンマ関数は対数凸である。且つ、<math>x\to\infty</math>で<math>\frac{d}{dx}\log\Gamma(x)\to0</math>であることを指摘しておく。
次に、背理法により、所与の条件に合う関数<math>G(x)</math>が一意であることを確かめる。<math>f(x)=\log{\Gamma(x)}-\log{G(x)}\ne0</math>と逆に仮定して矛盾を導く。
<math>G(x)=(x-1)G(x-1)</math>により
- <math>f(x)=\log{\Gamma(x)}-\log{G(x)}=\log{(x-1)}+\log{\Gamma(x-1)}-\log{(x-1)}-\log{G(x-1)}=f(x-1)</math>
であり、帰納的に任意の自然数<math>n</math>について<math>f(x+n)=f(x)</math>である。更に<math>G(1)=1</math>により<math>f(n)=0</math>である。従って、<math>f(x_0)\ne0</math>となる<math>x_0</math>が存在するためには<math>f'(x_1)>0,f'(x_2)<0</math>となる<math>x_1,x_2</math>が必要であり、延いては<math>f(x_3)=\epsilon>0</math>となる<math>x_3</math>が必要である。従って
- <math>\frac{d^2}{dx^2}f(x_3)=\frac{d^2}{dx^2}f(n+x_3)=\frac{d^2}{dx^2}\log{\Gamma(n+x_3)}-\frac{d^2}{dx^2}\log{G(n+x_3)}=\epsilon</math>
が成立しなければならない。然し、<math>n</math>が十分に大きければ<math>\frac{d^2}{dx^2}\Gamma(n+x)<\epsilon</math>であるから、<math>\frac{d^2}{dx^2}\log{G(n+x)}<0</math>となる。これは<math>G(x)</math>が対数凸であるという仮定に反する。従って、<math>G(x)=\Gamma(x)</math>である。
[編集] いくつかの具体的な値
- <math>\Gamma\left(-\frac{3}{2}\right)\,= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} \approx 2.363\,</math>
- <math>\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)\,= -2\sqrt{\pi} \approx -3.545\,</math>
- <math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\,= \sqrt{\pi} \approx 1.772\,</math>
- <math>\Gamma(1)\,=0!=1 \,</math>
- <math>\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\,= \frac {\sqrt{\pi}} {2} \approx 0.886\,</math>
- <math>\Gamma(2)\,=1!=1 \,</math>
- <math>\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)\,= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} \approx 1.329\,</math>
- <math>\Gamma(3)\,=2!=2 \,</math>
- <math>\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)\,= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} \approx 3.323\,</math>
- <math>\Gamma(4)\,=3!=6 \,</math>
[編集] 関連項目
[編集] 外部リンク
