ガンマ分布

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確率論および統計学において、ガンマ分布 (gamma distribution) は連続確率分布の一種である。ガンマ分布の確率密度関数は、ガンマ関数を用いて次のように表される。

<math> f(x) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\,\theta^k}

\ \ \ \ \mathrm{for\ } x > 0</math>

ここで、ガンマ分布の形状母数 <math>k > 0</math>、尺度母数 <math>\theta > 0</math> である。

ガンマ分布の累積分布関数は、不完全ガンマ関数を用いて次のように表される。

<math> F(x) = \int_0^x f(u)\,du

 = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)} </math>

ガンマ分布の確率変数を <math>X</math> とするとき、平均 <math>E(X)</math> および分散 <math>V(X)</math> は次のように表される。

<math>

\begin{matrix}

 E(X) = k \theta \\

\\

 V(X) = k \theta^2

\end{matrix} </math>

ガンマ分布は再生性を有する。すなわち、パラメータに <math>k_1</math> と <math>\theta</math> を持つガンマ分布の確率変数を <math>X_1</math>、パラメータに <math>k_2</math> と <math>\theta</math> を持つガンマ分布の確率変数を <math>X_2</math> とするとき、確率変数が <math>X_1 + X_2</math> であるガンマ分布のパラメータは <math>k_1 + k_2</math> と <math>\theta</math> である。

<math>k</math> が整数である場合、このガンマ分布はアーラン分布となる。特に<math>k = 1</math> である場合、このガンマ分布はパラメータに <math>\theta</math> を持つ指数分布となる。また、パラメータに <math>\theta</math> を持つ互いに独立な <math>n</math> 個の指数分布の和は、パラメータに <math>n</math> と <math>\theta</math> を持つガンマ分布（アーラン分布）となる。

<math>k</math> が半整数であり、かつ <math>\theta = 2</math> である場合、ガンマ分布はカイ二乗分布となる。